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Nombres premiers


" Un nombre premier est un entier naturel, admettant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même ".

Ainsi, par exemple, les 30 premiers nombres premiers sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113

Vous aurez sans doute remarqué que 2 est le seul nombre premier pair. Si la raison de cette " bizarrerie " ne vous saute pas aux yeux, n’allez pas plus loin dans la lecture et recommencez à lire depuis le début.

Les autres nombres sont appelés « Nombres composés ». En effet, on peut les écrire comme un produit de puissances de nombres premiers. Cette décomposition en produits de puissances de nombres premiers est unique (à l’ordre des facteurs près) comme le stipule le théorème fondamental de l’arithmétique.

Euclide a démontré il y a longtemps (-300 avant JC) qu’il y a une infinité de nombres premiers [1]. Cependant, il est assez délicat de les trouver, en particulier pour des nombres très grands.
En 1995, une formule a été publiée par Minác et Willans, mais elle est coûteuse en calcul [2] même avec les moyens informatiques dont nous disposons actuellement. A titre d’information, le plus grand nombre premier trouvé à l’heure où j’écris ces lignes est : 232582657 - 1 découvert le 4 Septembre 2006 et il comporte 9808358 chiffres.

On a longtemps cru que les nombres premiers ne servaient à rien en dehors de la théorie des nombres. Cela a changé en 1970, lorsqu’il a été annoncé que les nombres premiers peuvent servir dans les algorithmes de cryptage à clés publiques (voir aussi 1#05 - cryptographie).
Ils servent également pour des fonctions de hashage [3] ou des générateurs de nombres pseudo-aléatoires [4].

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[1] http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-68013&M=pagination&Y=Image (voir la page 338)
[2] http://www.cnrs.fr/Cnrspresse/math2000/html/math10.htm
[3] http://fr.wikipedia.org/wiki/Hash
[4] http://fr.wikipedia.org/wiki/Générateur_de_nombres_pseudo-aléatoires


Rédigé initialement par BubuLeMag.
Dans Arithmétique et Par nom
Dernière modification de la page le 06/08/2008 à 22h53.