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L'hypothèse de Riemann


Vous aviez déjà l’eau à la bouche avec la récompense du problème « P vs NP » mais vous avez buté sur la solution ? Qu’à cela ne tienne, voici une autre chance : l’hypothèse de Riemann [1]

Comme souvent, les problèmes les plus compliqués à démontrer sont simples à exprimer.

Soit la fonction zêta de Riemann :

fonction zêta de Riemann

Cette forme (d'écriture du nombre complexe, ndlr) est curieusement entrée dans les moeurs des mathématiciens lorsqu’on parle de l’hypothèse de Riemann à la place de la notation a+ib que connaissent bien nos étudiants français.

L’hypothèse de Riemann est la suivante : [2] " Les zéros non triviaux de la fonction zêta ont pour partie réelle 1/2 ".

De nombreuses preuves ont été proposées [3], mais pour le moment, aucune n’a été validée par la communauté scientifique.

On peut noter que les zéros triviaux de la fonction zêta sont :

zéros triviaux de la fonction zêta de Riemann

Vous trouverez sur le site "larecherche.fr" [4] un article très détaillé sur l’historique des tentatives de démonstration de cette hypothèse. Je ne m’étendrai pas sur cela car cela n’a pas grand intérêt dans l’épisode 1#05.

La question que l’on peut se poser à la vision de l’épisode 1#05 est la suivante : en quoi la démonstration d’une hypothèse pourrait-elle servir à des criminels ? Parfois, je me la pose aussi… En fait, dans l’épisode, les criminels veulent casser une clé de cryptage RSA. Or comme je l’ai expliqué (cf: cryptographie), la clé privée peut être recalculée à condition de pouvoir calculer la décomposition en nombres premiers d’un grand nombre. Pour espérer accélérer cette décomposition, on cherche à connaître le mieux possible les nombres premiers. Ainsi, la conséquence première de l’hypothèse de Riemann est que la distribution des nombres premiers est aléatoire : la densité de nombres premiers parmi les nombres entiers suit une loi régulière, mais le comportement local reste imprévisible. En fait, si l’on définit Pi (x) comme étant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égal à x [5], l’hypothèse de Riemann amènerait à une meilleure approximation de cette fonction qui impliquerait en simplifié qu’il y aurait des nombres premiers régulièrement parmi les nombres entiers, mais qu’il peut y en avoir plusieurs de manière reprochée et ensuite un gros « trous ».

Mais alors, il suffit de supposer que l’hypothèse de Riemann est vraie et en appliquer les conséquences ? (elle a été vérifiée expérimentalement par ordinateur pour les 1,5 milliards de premiers zéros après tout) Oui, mais voilà, le comportement local restant imprévisible, ce résultat ne sert à rien pour notre problème de casser une clé de cryptage. Mais alors que cherche-t-on ? En réalité, de nombreux mathématiciens pensent que la démonstration elle-même devrait nous permettre de mieux comprendre les nombres premiers. Parmi les tentatives, on a vu apparaître des analogies avec des problèmes connus en physique. Les physiciens ayant développés certains outils mathématiques très puissants et complexes (les opérateurs Hermitiens, entre autre [6]), cette approche pourrait révolutionner les algorithmes utilisés par les méchants casseurs de clés de cryptage. Cependant, une application de cette démonstration nécessiterait sans doute quelques mois voire années de recherches avant d’aboutir à un algorithme performant.

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[1] http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/ [En anglais]
[2] http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ (le manuscrit) [En anglais]
[3] http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/RHproofs.htm [En anglais]
[4] http://www.larecherche.fr/special/math346/lac.html [En français]
[5] http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_compte_des_nombres_premiers [En français]
[6] http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/polya/index.html [En anglais]


Rédigé initialement par BubuLeMag.
Dans Analyse et Par nom
Dernière modification de la page le 04/08/2008 à 00h11.